f (z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением
;
Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е - основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:
и
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. ex > 0 и при n → ∞ возрастает быстрее любой степени х, а при х → - ∞ убывает быстрее любой степени 1/x:
, ,
каков бы ни был показатель
n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является
Логарифмическая функция: если ω =
ez, то z =
lnω
.
Рассматривается также П. ф. az при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2x, (1/2) x и т.д.]. П. ф. az связана с П. ф. ez (основной) соотношением
az = ezlna.
П. ф.
ex является целой трансцендентной функцией (См.
Трансцендентные функции)
. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
, (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.
Полагая
z = х + iy, Л.
Эйлер получил (1748) формулу:
ez = ex+iy = ex (cosy + isiny), (2)
,
.
Функции
ch
y,
= sh
y
называются гиперболическими функциями (См.
Гиперболические функции)
, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2πi, то есть ez+2πi = ez или e2πi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (ez)' = ez.
Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.
Рис. к ст. Показательная функция.